Mida tähendab funktsiooni vähenemine või suurendamine? Funktsiooni omadused

Monotoonne

Funktsiooni väga oluline omadus on selle monotoonsus. Teades seda erinevate erifunktsioonide omadust, saab määrata erinevate füüsiliste, majanduslike, sotsiaalsete ja paljude muude protsesside käitumist.

Eristatakse järgmisi funktsioonide monotoonsuse tüüpe:

1) funktsiooni suureneb, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall selline, et . Need. argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele;

2) funktsiooni väheneb, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall selline, et . Need. argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele;

3) funktsiooni mitte vähenev, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall nii, et ;

4) funktsiooni ei suurene, Kui mõnel intervallil, kui iga kahe punkti ja see intervall selline, et .

2. Esimesel kahel juhul kasutatakse ka mõistet "range monotoonsus".

3. Viimased kaks juhtumit on spetsiifilised ja on tavaliselt määratletud mitme funktsiooni koosseisuna.

4. Eraldi märgime, et funktsiooni graafiku suurendamist ja vähendamist tuleks käsitleda täpselt vasakult paremale ja mitte midagi muud.

2. Isegi veider.

Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui argumendi märgi muutumisel muudab see selle väärtuse vastupidiseks. Selle valem näeb välja selline . See tähendab, et pärast miinus x väärtuste asendamist funktsiooniga kõigi x-de asemel muudab funktsioon oma märki. Sellise funktsiooni graafik on sümmeetriline alguspunkti suhtes.

Näited paaritutest funktsioonidest on jne.

Näiteks on graafik tõepoolest sümmeetriline päritolu suhtes:

Funktsiooni nimetatakse paaristeks kui argumendi märgi muutmine ei muuda selle väärtust. Selle valem näeb välja selline. See tähendab, et pärast miinus x väärtuste asendamist funktsiooniga kõigi x-de asemel ei muutu funktsioon selle tulemusena. Sellise funktsiooni graafik on telje suhtes sümmeetriline.

Paarisfunktsioonide näited on jne.

Näiteks näitame graafiku sümmeetriat telje suhtes:

Kui funktsioon ei kuulu ühtegi määratud tüüpi, siis ei nimetata seda ei paaris ega paaritu või üldine funktsioon. Sellistel funktsioonidel puudub sümmeetria.

Selline funktsioon on näiteks hiljuti vaadeldud lineaarfunktsioon graafikuga:

3. Funktsioonide eriomadus on perioodilisus.

Fakt on see, et tavalises kooliõppekavas käsitletavad perioodilised funktsioonid on ainult trigonomeetrilised funktsioonid. Oleme neist juba üksikasjalikult rääkinud vastavat teemat uurides.

Perioodiline funktsioon on funktsioon, mis ei muuda oma väärtust, kui argumendile lisatakse konstantne nullist erinev arv.

Seda miinimumnumbrit kutsutakse funktsiooni periood ja on tähistatud tähega.

Selle valem näeb välja selline: .

Vaatame seda omadust siinusgraafiku näitel:

Tuletame meelde, et funktsioonide ja periood on ning periood ja on .

Nagu me juba teame, võib keeruka argumendiga trigonomeetriliste funktsioonide jaoks olla ebastandardne periood. Need on vormi funktsioonid:

Neil on sama periood. Ja funktsioonide kohta:

Neil on sama periood.

Nagu näete, jagatakse uue perioodi arvutamiseks standardperiood lihtsalt argumendi teguriga. See ei sõltu funktsiooni muudest muudatustest.

Piirang.

Funktsioon y=f(x) nimetatakse hulgal X⊂D(f) altpoolt piiritletuks, kui on olemas arv a, mille korral mis tahes xϵX korral on võrratus f(x)< a.

Funktsioon y=f(x) nimetatakse arvu X⊂D(f) ülevalt piirituks, kui on olemas arv a, mille korral mis tahes xϵX korral on võrratus f(x)< a.

Kui intervalli X ei näidata, siis loetakse, et funktsioon on piiratud kogu definitsioonipiirkonna ulatuses. Nii ülalt kui altpoolt piiritletud funktsiooni nimetatakse piirituks.

Funktsiooni piirangut on graafikult lihtne välja lugeda. Võimalik on tõmmata mingi sirge y=a ja kui funktsioon on sellest sirgest kõrgem, siis on see altpoolt piiratud.

Kui allpool, siis vastavalt üleval. Allpool on madalama piiriga funktsiooni graafik. Piiratud funktsiooni graafik, poisid, proovige see ise joonistada.

Teema: Funktsioonide omadused: suurenemise ja kahanemise intervallid; suurimad ja väikseimad väärtused; äärmuspunktid (lokaalne maksimum ja miinimum), funktsiooni kumerus.

tõusu ja languse perioodid.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.

Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:

kui funktsiooni tuletis y=f(x) positiivne iga jaoks x intervallist X, siis funktsioon suureneb võrra X;

kui funktsiooni tuletis y=f(x) negatiivne mis tahes x intervallist X, siis funktsioon väheneb võrra X.

Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:

leida funktsiooni ulatus;

leida funktsiooni tuletis;

lahendada ebavõrdsust ja määratlusvaldkonnas;

tuletis. Kui funktsiooni tuletis on intervalli mis tahes punkti suhtes positiivne, siis funktsioon kasvab, kui negatiivne, siis väheneb.

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide leidmiseks tuleb leida selle definitsioonipiirkond, tuletis, lahendada võrratused kujul F’(x) > 0 ja F’(x)

Lahendus.

3. Lahenda võrratused y’ > 0 ja y’ 0;
(4–x)/x³

Lahendus.
1. Leidke funktsiooni domeen. Ilmselt peab nimetaja avaldis alati nullist erinema. Seetõttu jäetakse 0 definitsioonipiirkonnast välja: funktsioon on defineeritud x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞) jaoks.

2. Arvutage funktsiooni tuletis:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² - (3 x² + 2 x - 4) 2 x) / x^4 = (6 x³ + 2 x² - 6 x³ - 4 x² + 8 x) / x^ 4 \u003d (8 x - 2 x²) / x ^ 4 \u003d 2 (4 - x) / x³.

3. Lahenda võrratused y’ > 0 ja y’ 0;
(4–x)/x³

4. Võrratuse vasakul poolel on üks reaalne x = 4 ja see muutub x = 0-ks. Seetõttu on väärtus x = 4 kaasatud intervallisse ja kahanemise intervallisse ning punkt 0 ei sisaldu.
Seega suureneb vajalik funktsioon intervallil x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Allikad:

kuidas leida funktsioonilt kahanevaid intervalle

Funktsioon on ühe arvu range sõltuvus teisest või funktsiooni (y) väärtus argumendist (x). Iga protsessi (mitte ainult matemaatikas) saab kirjeldada selle funktsiooniga, millel on iseloomulikud tunnused: vähenemise ja kasvu intervallid, miinimumi ja maksimumi punktid jne.

Sa vajad

- paber;
- pliiats.

Juhend

Näide 2
Leidke f(x)=sinx +x kahanemise intervallid.
Selle funktsiooni tuletis on võrdne f'(x)=cosx+1.
Võrratuse cosx+1 lahendamine

intervall monotoonsus Funktsiooniks võib nimetada intervalli, milles funktsioon kas ainult suureneb või ainult väheneb. Mitmed spetsiifilised toimingud aitavad leida funktsiooni jaoks selliseid vahemikke, mida seda tüüpi algebraliste ülesannete puhul sageli vajatakse.

Juhend

Esimene samm funktsiooni monotoonse suurenemise või vähenemise intervallide määramise probleemi lahendamisel on selle funktsiooni arvutamine. Selleks leidke kõik argumentide väärtused (väärtused x-teljel), mille jaoks leiate funktsiooni väärtuse. Märkige punktid, kus lünki täheldatakse. Leia funktsiooni tuletis. Olles määratlenud tuletist esindava avaldise, võrdsustage see nulliga. Pärast seda peaksite leidma tulemuse juured. Mitte lubatava ala kohta.

Punktid, kus funktsioon või selle tuletis on võrdne nulliga, on intervallide piirid monotoonsus. Need vahemikud ja neid eraldavad punktid tuleb tabelisse sisestada järjestikku. Leia saadud intervallidest funktsiooni tuletise märk. Selleks asenda mis tahes argument intervallist tuletisele vastava avaldisega. Kui tulemus on positiivne, siis funktsioon selles vahemikus suureneb, vastasel juhul väheneb. Tulemused kantakse tabelisse.

Funktsiooni f'(x) tuletist tähistav rida kirjutatakse vastavalt argumentide väärtustele: "+" - kui tuletis on positiivne, "-" - negatiivne või "0" - võrdub nulliga. Järgmisel real pange tähele algse väljendi monotoonsust. Üles-nool vastab suurenemisele, alla-nool langusele. Kontrollige funktsioone. Need on punktid, kus tuletis on null. Ekstreemum võib olla kas kõrgpunkt või madalpunkt. Kui funktsiooni eelmine osa suurenes ja praegune kahanes, on see maksimumpunkt. Juhul, kui funktsioon kahanes antud punktini ja nüüd kasvab, on see miinimumpunkt. Sisestage tabelisse funktsiooni väärtused äärmuslikesse punktidesse.

Allikad:

mis on monotoonsuse definitsioon

Argumendist kompleksselt sõltuva funktsiooni käitumise uurimine viiakse läbi tuletise abil. Tuletise muutumise olemuse järgi võib leida funktsiooni kriitilisi punkte ja kasvu- või vähenemispiirkondi.

Funktsiooni äärmused

2. definitsioon

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabrus on selline, et kõigi selle naabruskonna $x$ jaoks on ebavõrdsus $f(x)\le f(x_0 )$ on rahul.

3. määratlus

Punkti $x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ maksimumpunktiks, kui selle punkti naabruskond on selline, et kogu selle naabruskonna $x$ korral on ebavõrdsus $f(x)\ge f(x_0) $ on rahul.

Funktsiooni ekstreemumi mõiste on tihedalt seotud funktsiooni kriitilise punkti mõistega. Tutvustame selle määratlust.

4. definitsioon

$x_0$ nimetatakse funktsiooni $f(x)$ kriitiliseks punktiks, kui:

1) $x_0$ - määratluspiirkonna sisepunkt;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ või seda pole olemas.

Ekstreemumi mõiste jaoks saab sõnastada teoreeme selle olemasolu piisavate ja vajalike tingimuste kohta.

2. teoreem

Piisav äärmuslik seisund

Olgu punkt $x_0$ funktsiooni $y=f(x)$ jaoks kriitiline ja asub intervallis $(a,b)$. Olgu igal intervallil $\left(a,x_0\right)\ ja\ (x_0,b)$ tuletis $f"(x)$ ja säilitage konstantne märk. Seejärel:

1) Kui intervallil $(a,x_0)$ on tuletis $f"\left(x\right)>0$ ja intervallil $(x_0,b)$ tuletis $f"\left(x\ õige)

2) Kui tuletis $f"\left(x\right)0$ on vahemikus $(a,x_0)$, siis on punkt $x_0$ selle funktsiooni miinimumpunkt.

3) Kui nii intervallil $(a,x_0)$ kui ka intervallil $(x_0,b)$ on tuletis $f"\left(x\right) >0$ või tuletis $f"\left(x \paremal)

Seda teoreemi illustreerib joonis 1.

Joonis 1. Piisav tingimus ekstreemide olemasoluks

Näited äärmustest (joonis 2).

Joonis 2. Ekstreemumipunktide näited

Ekstreemumi funktsiooni uurimise reegel

2) Leia tuletis $f"(x)$;

7) Tee järeldused maksimumide ja miinimumide olemasolu kohta igal intervallil, kasutades teoreemi 2.

Kasvav ja kahanev funktsioon

Tutvustame esmalt kasvavate ja kahanevate funktsioonide definitsioone.

Definitsioon 5

Funktsiooni $y=f(x)$, mis on defineeritud intervallil $X$, nimetatakse kasvavaks, kui mis tahes punktis $x_1,x_2\in X$ väärtuses $x_1

Definitsioon 6

Funktsiooni $y=f(x)$, mis on defineeritud intervallil $X$, nimetatakse kahanevaks, kui mis tahes punktis $x_1,x_2\in X$ väärtuses $x_1f(x_2)$.

Suurendamise ja vähendamise funktsiooni uurimine

Tuletise abil saate uurida suurendamise ja vähendamise funktsioone.

Funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide uurimiseks peate tegema järgmist.

1) Leia funktsiooni $f(x)$ domeen;

2) Leia tuletis $f"(x)$;

3) Leia punktid, kus võrdus $f"\left(x\right)=0$;

4) Leia punktid, kus $f"(x)$ ei eksisteeri;

5) Märgi koordinaatjoonele kõik leitud punktid ja antud funktsiooni domeen;

6) Määrake tuletise $f"(x)$ märk igal saadud intervallil;

7) Järeldage: intervallidel, kus $f"\left(x\right)0$ funktsioon suureneb.

Näited probleemidest suurendamise, vähendamise ja ekstreemumipunktide esinemise funktsioonide uurimisel

Näide 1

Uurige suurendamise ja kahanemise funktsiooni ning maksimum- ja miinimumpunktide olemasolu: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Kuna esimesed 6 punkti on samad, siis loosime need esimesena välja.

1) Määratluspiirkond – kõik reaalarvud;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ eksisteerib definitsioonipiirkonna kõigis punktides;

5) Koordinaatjoon:

Joonis 3

6) Määrake tuletise $f"(x)$ märk igal intervallil:

\ \ kui mis tahes punktipaari jaoks X Ja X", a ≤ x, ebavõrdsus f(x) ≤ f (x") ja rangelt suurendades - kui ebavõrdsus f (x) f(x"). Funktsiooni vähenemine ja range vähenemine on defineeritud sarnaselt. Näiteks funktsioon juures = X 2 (riis. , a) kasvab rangelt segmendil , ja

(riis. , b) väheneb sellel intervallil rangelt. Kasvavad funktsioonid on tähistatud f (x) ja väheneb f (x)↓. Diferentseeruva funktsiooni saamiseks f (x) suurenes intervalliga [ aga, b], on vajalik ja piisav, et selle tuletis f"(x) ei olnud [ aga, b].

Koos funktsiooni suurendamise ja vähendamisega segmendil arvestatakse funktsiooni suurenemist ja vähenemist punktis. Funktsioon juures = f (x) nimetatakse punktis suurendamiseks x 0, kui on olemas selline punkti sisaldav intervall (α, β). x 0, mis iga punkti jaoks X alates (α, β), x> x 0, ebavõrdsus f (x 0) ≤ f (x) ja mis tahes punkti jaoks X alates (α, β), x 0, ebavõrdsus f (x) ≤ f (x 0). Funktsiooni range suurendamine punktis on defineeritud sarnaselt x 0 . Kui f"(x 0) > 0, siis funktsioon f(x) suureneb täpselt x 0 . Kui f (x) suureneb intervalli igas punktis ( a, b), siis see sellel intervallil suureneb.

S. B. Stechkin.

Suur Nõukogude entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. 1969-1978 .

Vaadake, mis on "suurenev ja kahandav funktsioon" teistes sõnaraamatutes:

Matemaatilise analüüsi mõisted. Funktsiooni f(x) nimetatakse kasvavaks segmendil RAHVIKKU VANUSSTRUKTUUR, rahvastiku erinevate vanuserühmade arvu suhet. Sõltub sündimuse ja suremuse määrast, inimeste oodatavast elueast... Suur entsüklopeediline sõnaraamat

Matemaatilise analüüsi mõisted. Funktsiooni f(x) nimetatakse intervalli suurendamiseks, kui mis tahes punktide x1 ja x2 paari puhul on a≤x1 ... entsüklopeediline sõnaraamat

Matemaatika mõisted. analüüs. Kutsutud funktsioon f(x). kasvades lõigul [a, b], kui mis tahes punktide paari x1 ja x2 korral ja<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Matemaatika haru, mis uurib funktsioonide tuletisi ja diferentsiaale ning nende rakendusi funktsioonide uurimisel. D. registreerimine ja. iseseisvaks matemaatiliseks distsipliiniks seostatakse I. Newtoni ja G. Leibnizi nimedega (17. aasta teine pool ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Matemaatika haru, milles uuritakse tuletise ja diferentsiaali mõisteid ning nende rakendamist funktsioonide uurimisel. D. arengut ja. tihedalt seotud integraalarvutuse arenguga. Lahutamatult ja nende sisu. Üheskoos moodustavad need aluse... Matemaatiline entsüklopeedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt funktsiooni. "Kuva" päring suunatakse siia; vaata ka teisi tähendusi ... Wikipedia

Aristoteles ja peripateetikud- Aristotelese küsimus Aristotelese elu Aristoteles sündis 384/383. eKr e. Stagiras, Makedoonia piiril. Tema isa, nimega Nicomachus, oli arst, kes teenis Makedoonia kuninga Amyntase, Philipi isa. Noor Aristoteles koos perega ...... Lääne filosoofia selle tekkest tänapäevani

- (QCD), kvarkide ja gluoonide tugeva mõju kvantväljateooria, mis on ehitatud kvantkujutisesse. elektrodünaamika (QED), mis põhineb "värvi" mõõturi sümmeetrial. Erinevalt QED-st on QCD fermionidel komplement. vabadusastme kvant. number,…… Füüsiline entsüklopeedia

I Süda Süda (ladina cor, kreeka cardia) on õõnes fibromuskulaarne organ, mis pumbana toimides tagab vere liikumise vereringesüsteemis. Anatoomia Süda asub eesmises mediastiinumis (mediastiinumis) perikardis vahemikus ... ... Meditsiiniline entsüklopeedia

Taime elu, nagu iga muu elusorganismi elu, on omavahel seotud protsesside kompleksne kogum; kõige olulisem neist, nagu teada, on ainete vahetus keskkonnaga. Keskkond on allikas, kust ...... Bioloogiline entsüklopeedia

Kasvava funktsiooni definitsioon.

Funktsioon y=f(x) suureneb intervalliga X, kui mõne ja ebavõrdsus on rahuldatud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Funktsiooni määratluse vähendamine.

Funktsioon y=f(x) väheneb intervalli jooksul X, kui mõne ja ebavõrdsus . Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

MÄRKUS: kui funktsioon on defineeritud ja on pidev suurendamise või vähendamise intervalli lõpus (a;b), ehk millal x=a Ja x=b, siis kaasatakse need punktid suurenemise või vähenemise intervalli. See ei ole vastuolus intervalli suureneva ja kahaneva funktsiooni definitsioonidega X.

Näiteks põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal teame seda y = sinx on defineeritud ja pidev kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks. Seetõttu saame intervalli siinusfunktsiooni suurenemise põhjal väita intervalli suurenemist.

Äärmuspunktid, äärmusfunktsioon.

Punkti nimetatakse maksimaalne punkt funktsioonid y=f(x) kui kõigi jaoks x selle naabruses on ebavõrdsus tõsi. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .

Punkti nimetatakse miinimumpunkt funktsioonid y=f(x) kui kõigi jaoks x selle naabruses on ebavõrdsus tõsi. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .

Punkti naabrusena mõistetakse intervalli , kus on piisavalt väike positiivne arv.

Nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktid äärmuslikud punktid, ja kutsutakse äärmuspunktidele vastavad funktsiooni väärtused funktsiooni äärmus.

Ärge ajage funktsiooni äärmusi segamini funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtusega.

Esimesel joonisel funktsiooni suurim väärtus segmendil saavutatakse maksimumpunktis ja on võrdne funktsiooni maksimumiga ning teisel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis x=b, mis ei ole maksimumpunkt.

Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.

Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:

kui funktsiooni tuletis y=f(x) positiivne iga jaoks x intervallist X, siis funktsioon suureneb võrra X;

kui funktsiooni tuletis y=f(x) negatiivne mis tahes x intervallist X, siis funktsioon väheneb võrra X.

Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:

Vaatleme algoritmi selgitamiseks näidet suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmisest.

Näide.

Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

Lahendus.

Esimene samm on funktsiooni määratluse ulatuse leidmine. Meie näites ei tohiks nimetaja avaldis seetõttu kaduda.

Liigume edasi funktsiooni tuletise leidmise juurde:

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramiseks piisava kriteeriumi alusel lahendame võrratused ja definitsioonipiirkonnas. Kasutame intervallmeetodi üldistust. Lugeja ainus tõeline juur on x=2, ja nimetaja kaob kell x=0. Need punktid jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks, milles funktsiooni tuletis säilitab oma märgi. Märgime need punktid numbrireale. Plusside ja miinustega tähistame tinglikult intervalle, millel tuletis on positiivne või negatiivne. Allolevad nooled näitavad skemaatiliselt funktsiooni suurenemist või vähenemist vastaval intervallil.