Tunni tüüp: teadmiste üldistamise ja süstematiseerimise tund

Eesmärgid:

• hariv- korrake kraadi määratlust, kraadide korrutamise ja jagamise reegleid, kraadi tõstmist kraadini, kinnistage kraadide sisaldavate näidete lahendamise oskust,
• arenev- õpilaste loogilise mõtlemise arendamine, huvi õpitava materjali vastu,
• harivad- vastutustundliku õppimisse suhtumise, suhtluskultuuri, kollektivismitunde edendamine.

Varustus: arvuti, multimeediaprojektor, interaktiivne tahvel, “Kraadid” esitlus suuliseks loendamiseks, ülesannete kaardid, jaotusmaterjalid.

Tunniplaan:

1. Aja organiseerimine.
2. Reeglite kordamine
3. Sõnaline loendamine.
4. Ajaloo viide.
5. Tahvli töö.
6. Fizkultminutka.
7. Töötage interaktiivse tahvli kallal.
8. Iseseisev töö.
9. Kodutöö.
10. Õppetunni kokkuvõte.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment

Tunni teema ja eesmärkide esitlus.

Eelmistes tundides avastasite kraadide imelise maailma, õppisite astmeid korrutama ja jagama ning tõstma astmeni. Täna tuleb saadud teadmisi näidete lahendamisega kinnistada.

II. Reeglite kordamine(suuliselt)

1. Andke kraadi definitsioon loomuliku indikaatoriga? (numbri astme järgi aga mille naturaalastendaja on suurem kui 1, nimetatakse korrutiseks n kordajad, millest igaüks on võrdne aga.)
2. Kuidas korrutada kahte võimsust? (Sama alusega astmete korrutamiseks peate jätma aluse samaks ja lisama eksponendid.)
3. Kuidas jagada kraadi kraadi järgi? (Sama alusega astmete jagamiseks peate aluse jätma samaks ja lahutama astendajad.)
4. Kuidas tõsta toode võimsuseks? (Korrutise astme suurendamiseks peate suurendama iga tegurit selle astmeni)
5. Kuidas tõsta kraadi kraadini? (Postsuse tõstmiseks astmeks peate jätma aluse samaks ja korrutama eksponendid)

III. Sõnaline loendamine(multimeediumi abil)

IV. Ajaloo viide

Kõik probleemid on pärit Ahmese papüürusest, mis on kirjutatud umbes 1650 eKr. e. seotud ehituspraktikaga, kruntide piiritlemisega jne Ülesanded on rühmitatud teemade kaupa. Enamasti on need kolmnurga, nelinurkade ja ringi pindalade leidmise ülesanded, erinevad tehted täis- ja murdarvudega, proportsionaalne jagamine, suhtarvude leidmine, on ka erineva astmeni tõstmine, I ja II astme võrrandite lahendamine ühe tundmatuga.

Mingeid selgitusi ega tõendeid pole absoluutselt. Soovitud tulemus antakse kas otse või antakse lühike algoritm selle arvutamiseks. See Vana-Ida riikide teadusele omane esitusviis viitab sellele, et sealne matemaatika arenes üldistuste ja oletuste abil, mis ei moodustanud mingit üldist teooriat. Papüürusel on aga mitmeid tõendeid selle kohta, et Egiptuse matemaatikud suutsid välja võtta juured ja tõsta astmeni, lahendada võrrandeid ja isegi algebra algead.

V. Tahvlitöö

Leidke avaldise väärtus ratsionaalsel viisil:

Arvutage avaldise väärtus:

VI. Kehalise kasvatuse minut

1. silmade jaoks
2. kaela jaoks
3. käte jaoks
4. torso jaoks
5. jalgade jaoks

VII. Probleemi lahendamine(interaktiivse tahvli ekraaniga)

Kas võrrandi juur on positiivne arv?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x)< 0)

VIII. Iseseisev töö

IX. Kodutöö

X. Õppetunni kokkuvõtte tegemine

Tulemuste analüüs, hinnete väljakuulutamine.

Kraadidest saadud teadmisi rakendame võrrandite, ülesannete lahendamisel gümnaasiumis ning neid leidub sageli ka eksamil.

Võimsuse valemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on an n-arvu aste a millal:

Tehted kraadidega.

1. Korrutades kraadid sama baasiga, saadakse nende näitajad kokku:

olena n = a m + n .

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:

3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse astendajad:

(am) n = a m n .

Iga ülaltoodud valem on õige suunaga vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab juurarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui suurendame juure astet sisse nüks kord ja samal ajal tõsta kuni n aste on juurarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui me vähendame juure astet sisse n juur samal ajal n kraadi võrra radikaalarvust, siis juure väärtus ei muutu:

Kraad negatiivse astendajaga. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille aste on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:

Valem olen:a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka kl m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile olen:a n = a m - n sai õiglaseks m = n, vajate nullkraadi olemasolu.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdosa astendajaga. Tõsta reaalarvu aga mingil määral m/n, peate juure ekstraheerima n aste m selle arvu võimsus aga.

Sektsioonid: matemaatika

Tunni tüüp: teadmiste üldistamise ja süstematiseerimise tund

Eesmärgid:

hariv- korrake kraadi määratlust, kraadide korrutamise ja jagamise reegleid, kraadi tõstmist kraadini, kinnistage kraadide sisaldavate näidete lahendamise oskust,

arenev- õpilaste loogilise mõtlemise arendamine, huvi õpitava materjali vastu,

harivad- vastutustundliku õppimisse suhtumise, suhtluskultuuri, kollektivismitunde edendamine.

Varustus: arvuti, multimeediaprojektor, interaktiivne tahvel, “Kraadid” esitlus suuliseks loendamiseks, ülesannete kaardid, jaotusmaterjalid.

Tunniplaan:

Aja organiseerimine.

Reeglite kordamine

Sõnaline loendamine.

Ajaloo viide.

Tahvli töö.

Fizkultminutka.

Töötage interaktiivse tahvli kallal.

Iseseisev töö.

Kodutöö.

Õppetunni kokkuvõte.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment

Tunni teema ja eesmärkide esitlus.

Eelmistes tundides avastasite kraadide imelise maailma, õppisite astmeid korrutama ja jagama ning tõstma astmeni. Täna tuleb saadud teadmisi näidete lahendamisega kinnistada.

II. Reeglite kordamine(suuliselt)

1. Andke kraadi definitsioon loomuliku indikaatoriga? (numbri astme järgi aga mille naturaalastendaja on suurem kui 1, nimetatakse korrutiseks n kordajad, millest igaüks on võrdne aga.)
2. Kuidas korrutada kahte võimsust? (Sama alusega astmete korrutamiseks peate jätma aluse samaks ja lisama eksponendid.)
3. Kuidas jagada kraadi kraadi järgi? (Sama alusega astmete jagamiseks peate aluse jätma samaks ja lahutama astendajad.)
4. Kuidas tõsta toode võimsuseks? (Korrutise astme suurendamiseks peate suurendama iga tegurit selle astmeni)
5. Kuidas tõsta kraadi kraadini? (Postsuse tõstmiseks astmeks peate jätma aluse samaks ja korrutama eksponendid)

III. Sõnaline loendamine(multimeediumi abil)

IV. Ajaloo viide

Kõik probleemid on pärit Ahmese papüürusest, mis on kirjutatud umbes 1650 eKr. e. seotud ehituspraktikaga, kruntide piiritlemisega jne Ülesanded on rühmitatud teemade kaupa. Enamasti on need kolmnurga, nelinurkade ja ringi pindalade leidmise ülesanded, erinevad tehted täis- ja murdarvudega, proportsionaalne jagamine, suhtarvude leidmine, on ka erineva astmeni tõstmine, I ja II astme võrrandite lahendamine ühe tundmatuga.

Mingeid selgitusi ega tõendeid pole absoluutselt. Soovitud tulemus antakse kas otse või antakse lühike algoritm selle arvutamiseks. See Vana-Ida riikide teadusele omane esitusviis viitab sellele, et sealne matemaatika arenes üldistuste ja oletuste abil, mis ei moodustanud mingit üldist teooriat. Papüürusel on aga mitmeid tõendeid selle kohta, et Egiptuse matemaatikud suutsid välja võtta juured ja tõsta astmeni, lahendada võrrandeid ja isegi algebra algead.

V. Tahvlitöö

Leidke avaldise väärtus ratsionaalsel viisil:

Arvutage avaldise väärtus:



VI. Kehalise kasvatuse minut

6. silmade jaoks
7. kaela jaoks
8. käte jaoks
9. torso jaoks
10. jalgade jaoks

VII. Probleemi lahendamine(interaktiivse tahvli ekraaniga)

Kas võrrandi juur on positiivne arv?

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Võimude ja juurte valemid.

Võimsuse valemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on an n-arvu aste a millal:



Tehted kraadidega.

1. Korrutades kraadid sama baasiga, saadakse nende näitajad kokku:

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:



3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse astendajad:

Iga ülaltoodud valem on õige suunaga vasakult paremale ja vastupidi.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:



3. Juure tõstmisel astmele piisab juurarvu tõstmisest selle astmeni:



4. Kui suurendame juure astet sisse nüks kord ja samal ajal tõsta kuni n aste on juurarv, siis juure väärtus ei muutu:



5. Kui me vähendame juure astet sisse n juur samal ajal n kraadi võrra radikaalarvust, siis juure väärtus ei muutu:



Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui jagamine sama arvu astmega, mille aste on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:



Valem olen :a n \u003d a m - n saab kasutada mitte ainult m > n, aga ka kl m 4:a 7 \u003d a 4 - 7 = -3.

Valemile olen :a n \u003d a m - n sai õiglaseks m = n, vajate nullkraadi olemasolu.

Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on võrdne ühega.

Tõsta reaalarvu aga mingil määral m/n, peate juure ekstraheerima n-th kraad alates m selle arvu võimsus aga:



Kraadivalemid.

6. a — n = - kraadide jaotus;

7. - kraadide jaotus;

8. a 1/n = ;

Tegevusreegli astmed kraadidega

1. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega (sama näitajaga):

(abc…) n = a n b n c n …

Näide 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Näide 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

Praktikas on pöördteisendus olulisem:

a n b n c n … = (abc …) n

need. mitme suuruse samade astmete korrutis on võrdne nende suuruste korrutise sama astmega.

Näide 3 Näide 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Jagatise (murru) aste on võrdne jagatisega, mis jagatakse jagatava sama astme jagaja sama astmega:

Näide 5 Näide 6

Vastupidine teisendus:. Näide 7 . Näide 8 .

3. Kui korrutada astmeid samade alustega, liidetakse eksponendid:

Näide 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Näide 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse jagaja astendaja dividendi astendajast.

Näide 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Näide 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Kraadi tõstmisel astmeni korrutatakse eksponendid:

Näide 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Näide 14

www.maths.yfa1.ru

Kraadid ja juured

Tehted volituste ja juurtega. Kraad negatiivsega ,

null ja murdosa indikaator. Väljenditest, millel pole mõtet.

Tehted kraadidega.

1. Sama baasiga astmete korrutamisel nende näitajad liidetakse:

olen · a n = a m + n .

2. Kraadide jagamisel sama alusega nende näitajad lahutatud .



3. Kahe või enama teguri korrutise aste on võrdne nende tegurite astmete korrutisega.

4. Suhtarvu aste (murd) võrdub dividendi (lugeja) ja jagaja (nimetaja) astmete suhtega:

(a/b) n = a n / b n .

5. Kraadi tõstmisel astmeni korrutatakse nende näitajad:

Kõik ülaltoodud valemid loetakse ja täidetakse mõlemas suunas vasakult paremale ja vastupidi.

NÄIDE (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operatsioonid juurtega. Kõigis alltoodud valemites tähendab sümbol aritmeetiline juur(radikaalavaldis on positiivne).

1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja jagaja juurte suhtega:



3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõstad selle astmeni juurnumber:



4. Kui tõsta juure astet m korda ja tõsta samaaegselt juurarvu m -nda astmeni, siis juure väärtus ei muutu:



5. Kui vähendada juure astet m korda ja samal ajal eraldada radikaalarvust m-nda astme juur, siis juure väärtus ei muutu:




Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade arvestanud ainult loomuliku indikaatoriga; kuid operatsioonid võimude ja juurtega võivad viia ka selleni negatiivne, null Ja murdosaline näitajad. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.

Kraad negatiivse astendajaga. Teatud negatiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui see, mis jagatakse sama arvu astmega, mille aste on võrdne negatiivse astendaja absoluutväärtusega:



Nüüd valem olen : a n = a m-n saab kasutada mitte ainult m, rohkem kui n, aga ka kl m, vähem kui n .

NÄIDE a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Kui tahame valemit olen : a n = olen — n oli õiglane m = n, vajame nullkraadi määratlust.

Kraad nullastendajaga. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste on 1.

NÄITED. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kraad murdosa astendajaga. Reaalarvu a tõstmiseks astmeni m / n peate selle arvu m astmest a eraldama n-nda astme juure:



Väljenditest, millel pole mõtet. Selliseid väljendeid on mitu.

kus a ≠ 0 , ei eksisteeri.

Tõepoolest, kui me seda eeldame x on teatud arv, siis on meil vastavalt jagamistehte definitsioonile: a = 0· x, st. a= 0, mis on vastuolus tingimusega: a ≠ 0

— suvaline number.

Tõepoolest, kui eeldame, et see avaldis on võrdne mõne arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile on meil: 0 = 0 x. Kuid see võrdsus kehtib mis tahes arv x, mida tuli tõestada.

0 0 — suvaline number.



Lahendus. Mõelge kolmele peamisele juhtumile.

1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit

2) millal x> 0 saame: x / x= 1, st. 1 = 1, millest järgneb,

mida x- mis tahes arv; aga seda arvesse võttes

meie juhtum x> 0, vastus on x > 0 ;

kraadi omadused

Tuletame meelde, et selles õppetükis me mõistame kraadi omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete näitajatega kraadid ja nende omadused tulevad juttu 8. klassi õppetundides.

Naturaalse astendajaga eksponendil on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astendajanäidetes arvutusi lihtsustada.

Kinnistu nr 1
Võimude toode

Kui korrutada astmed sama alusega, jääb alus muutumatuks ja astendajad liidetakse.

a m a n \u003d a m + n, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

See võimsuste omadus mõjutab ka kolme või enama võimsuse korrutist.

• Lihtsustage väljendit.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitada kraadina.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitada kraadina.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Pange tähele, et näidatud atribuudis oli tegemist ainult võimsuste korrutamisega samade alustega.. See ei kehti nende lisamise kohta.

Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kinnistu nr 2
Erakraadid

Jagades astmeid sama alusega, jääb alus muutumatuks ja jagaja astendaja lahutatakse dividendi astendajast.

• Kirjutage jagatis astmena
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Arvutama.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame osakraadide omadust.
3 8: t = 3 4

Vastus: t = 3 4 = 81

Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.

Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Näide. Leidke avaldise väärtus kraadiomaduste abil.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pange tähele, et vara 2 käsitles ainult volituste jaotamist samadel alustel.

Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kinnistu nr 3
Astendamine

Tõsttes astme astmeks, jääb astme baas muutumatuks ja eksponendid korrutatakse.

(a n) m \u003d a n m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

Näide.
(a 4) 6 = a 4 6 = a 24

Näide. Väljendage 3 20 astmena alusega 3 2 .

Astendamise omaduse järgi On teada, et eksponendid korrutatakse astmeni tõstmisel, mis tähendab:

Omadused 4
Toote kraad

Kui tõsta võimsust toote astmeni, tõstetakse iga tegur selle astmeni ja tulemused korrutatakse.

(a b) n \u003d a n b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud; "n" on mis tahes naturaalarv.

• Näide 1
  (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
• Näide 2
  (−x 2 a) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

Pange tähele, et omadust nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse ka vastupidises järjekorras.

(a n b n)= (a b) n

See tähendab, et astmete korrutamiseks samade astendajatega saate korrutada alused ja jätta eksponendi muutmata.

• Näide. Arvutama.
  2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Näide. Arvutama.
  0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Keerulisemate näidete puhul võib ette tulla juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate aluste ja erinevate astendajatega astmetel. Sel juhul soovitame teil teha järgmist.

Näiteks 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Näide kümnendmurru astendamisest.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Omadused 5
Jagatise võimsus (murrud)

Jagatise tõstmiseks astmeni saate dividendi ja jagaja eraldi tõsta selle astmeni ning jagada esimese tulemuse teisega.

(a: b) n \u003d a n: b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud, b ≠ 0, n on mis tahes naturaalarv.

• Näide. Väljendage väljendit osavõimsustena.
  (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murdosa astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus sa neid vajad? Miks peate nende õppimisele aega kulutama?

Sellest artiklist lugege kõike, et saada kõike teada kraadide kohta, milleks need on mõeldud ja kuidas oma teadmisi igapäevaelus kasutada.

Ja loomulikult viib kraadide teadmine teid lähemale OGE ehk ühtse riigieksami edukale sooritamisele ja unistuste ülikooli astumisele.

Lähme... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui valemite asemel näete jaburat, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL+F5 (Windowsis) või Cmd+R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on sama matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeli kasutades väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, kuid selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemas on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad viisi, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Ja milliseid keerulisi loendamisnippe laisad matemaatikud veel välja mõtlesid? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on. Ja nad lahendavad sellised probleemid oma mõtetes – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Selleks on vaja ainult pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see teeb teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks nimetatakse teist kraadi ruut numbrid ja kolmas kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on meetrit meetrit. Bassein on teie tagahoovis. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga ... bassein ilma põhjata! Basseini põhi on vaja katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhja pindala.

Saate lihtsalt näpuga torkades kokku lugeda, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teie plaadid on meeter-meetri haaval, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa sellist plaati nägid? Plaat tuleb pigem cm kaupa ja siis piinleb “näpuga lugemine”. Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna sama arv korrutatakse, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on astmeni tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu. Eksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine ​​aste on (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades numbri ruutu ... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu kokkulugemiseks peate korrutama kaheksa kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, siis saate kaheksa ruutu. Hangi rakud. () Nii et?

Näide päriselust nr 3

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahtusi ja vedelikke, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: põhja ühe meetri suurune ja meetri sügavune ning proovige arvutada, mitu kuubikut meeter korda meeter teie kuupmeetrisse siseneb. bassein.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli… kakskümmend kaks, kakskümmend kolm… Kui palju see välja tuli? Ei eksinud ära? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke näide matemaatikutelt. Nad on laisad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega ... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad selle liiga lihtsaks teevad. Tahandati kõik ühele toimingule. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest ... Ja mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi kasutada. Niisiis, see, mida te kunagi näpuga lugesite, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubis on võrdne. See on kirjutatud nii:

Jääb ainult kraaditabel meelde jätta. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid näpuga loendada.

Noh, selleks, et teid lõpuks veenda, et kraadid mõtlesid välja pätid ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte aga teile probleeme tekitama, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga teie miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa nüüd istud ja “näpuga loed”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Niisiis, esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - mis juhtus, veel kahe võrra, kolmandal aastal ... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga üks kord. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes arvutab kiiremini, saab need miljonid ... Kas tasub meeles pidada arvude astmeid, mida arvate?

Näide päriselust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta kaks rohkem. See on suurepärane eks? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta – korruta teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest sa oled juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et neljas aste on miljon. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et tõstes arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted ... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv ...

Noh, samal ajal, mida selline kraadiõppebaas? Veelgi lihtsam on number, mis asub allosas, põhjas.

Siin on teile kindel pilt.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta ... Kraad, mille alus on "" ja indikaator "", loetakse kui "kraadis" ja kirjutatakse järgmiselt:

Naturaalastendajaga arvu võimsus

Tõenäoliselt juba arvasite: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need, mida kasutatakse loendamisel üksuste loetlemisel: üks, kaks, kolm ... Üksusi loendades ei ütle me: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Me ei ütle ka "üks kolmandik" või "null koma viis kümnendikku". Need ei ole naturaalarvud. Mis te arvate, millised need numbrid on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Ja mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil pole piisavalt naturaalnumbreid pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud… Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt, lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimese astmeni võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Arvu tõstmine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga kordadega:
.

Kraadi omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan sulle nüüd.

Vaatame, mis on Ja ?

Definitsiooni järgi:

Mitu kordajat on kokku?

See on väga lihtne: lisasime teguritele tegurid ja tulemuseks on tegurid.

Kuid definitsiooni järgi on see astendajaga arvu aste, st: , mida oli vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata põhjus peab olema sama!
Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

ainult võimsustoodete jaoks!

Mitte mingil juhul ei tohiks te seda kirjutada.

2. see tähendab -arvu aste

Nagu ka eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu th:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda me tahtsime kirjutada?

Aga see pole tõsi, tõesti.

Negatiivse baasiga kraad

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema aluseks?

Kraadides alates loomulik näitaja aluseks võib olla suvaline number. Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olenemata sellest, kas need on positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel (" " või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? AGA? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Aga kui korrutada, siis selgub.

Määrake ise, milline märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: Ma loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 praktika näidet

Lahenduse analüüs 6 näidet

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. Tundub, et see on üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need vahetataks, võiks reegel kehtida.

Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

terve nimetame naturaalarvud, nende vastandid (see tähendab märgiga "" võetud) ja arvu.

positiivne täisarv, ja see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd uusi juhtumeid. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Mis tahes arv nulli astmeni on võrdne ühega:

Nagu alati, küsime endalt: miks see nii on?

Kaaluge aluse võimsust. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvuga ja saime sama, mis see oli -. Millise arvuga tuleb korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Mis tahes arv nulliastmeni on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peab see olema võrdne mis tahes kraadiga – ükskõik kui palju sa nulli iseendaga korrutad, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga null kraadini ulatuv arv, peab see olema võrdne. Mis on selle tõde? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullvõimsusele tõstmast. See tähendab, et nüüd saame mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta selle nullvõimsuseni.

Lähme edasi. Täisarvud sisaldavad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivseid arve. Et mõista, mis on negatiivne aste, teeme sama, mis eelmisel korral: korrutame mõne normaalse arvu negatiivses astmes samaga:

Siit on juba lihtne soovitud väljendada:

Nüüd laiendame saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivse astme arv on sama arvu ja positiivse astme pöördväärtus. Aga samas baas ei saa olla null:(sest jagada pole võimalik).

Teeme kokkuvõtte:

I. Väljend ei ole defineeritud. Kui siis.

II. Mis tahes arv nulliastmeni on võrdne ühega: .

III. Arv, mis ei võrdu negatiivse astme nulliga, on sama arvu pöördväärtus positiivse astmega: .

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, nagu tavaliselt, näited iseseisva lahenduse jaoks:

Iseseisva lahenduse ülesannete analüüs:

Ma tean, ma tean, numbrid on hirmutavad, aga eksamil pead olema kõigeks valmis! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud seda lahendada ja eksamil saate teada, kuidas nendega hõlpsalt toime tulla!

Jätkame eksponendiks "sobivate" arvude ringi laiendamist.

Nüüd kaaluge ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud, pealegi.

Et mõista, mis on "murdjärguline aste" Vaatleme murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Nüüd pidage meeles reeglit "kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on astme juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et astme juur on eksponentsiatsiooni pöördtehte: .

Selgub, et. Ilmselgelt saab seda erijuhtumit pikendada: .

Nüüd lisage lugeja: mis see on? Vastuse on lihtne saada võimsus-võimsuse reegli abil:

Kuid kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Pidage meeles reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et negatiivsetest arvudest on võimatu eraldada paarisastme juuri!

Ja see tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, see tähendab, et avaldisel pole mõtet.

Aga väljendus?

Siin aga tekib probleem.

Arvu võib esitada muude, vähendatud murdudena, näiteks või.

Ja selgub, et see on olemas, aga ei eksisteeri ja need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saate selle üles kirjutada. Kuid niipea, kui kirjutame indikaatori erineval viisil, tekib jälle probleeme: (st saime täiesti erineva tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaaluge ainult positiivne baaseksponent koos murdosa eksponendiga.

Nii et kui:

• - naturaalarv;
• on täisarv;

Näited:

Ratsionaalse astendajaga astmed on väga kasulikud juurtega avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 praktika näidet

5 näite analüüs koolituseks

Noh, nüüd - kõige raskem. Nüüd analüüsime aste irratsionaalse astendajaga.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadide puhul, välja arvatud

Tõepoolest, definitsiooni järgi on irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murruna, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraadide uurimisel koostasime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega.

Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...nullvõimsus- see on justkui arv, mis on üks kord korrutatud iseendaga, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemuseks vaid teatav "ettevalmistus number”, nimelt number;

...negatiivne täisarvu astendaja- justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

KUHU ME OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame juba tavapärasest kraadi tõstmise reeglist kraadini:

Vaata nüüd skoori. Kas ta tuletab sulle midagi meelde? Tuletame meelde ruutude erinevuse lühendatud korrutamise valemit:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Toome astendajates murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

KÕRGTASEMEL

Kraadi määratlus

Kraad on vormi: , kus:

• — kraadi alus;
• - eksponent.

Kraad naturaalse astendajaga (n = 1, 2, 3,...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist endaga kordadega:

Positsioon täisarvu eksponendiga (0, ±1, ±2,...)

Kui eksponendiks on positiivne täisarv number:

erektsioon nullvõimsusele:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt on see igal astmel ja teiselt poolt mis tahes arv kuni astmeni see.

Kui eksponendiks on täisarv negatiivne number:

(sest jagada pole võimalik).

Veel kord nullide kohta: avaldis ei ole käändes defineeritud. Kui siis.

Näited:

Kraad ratsionaalse astendajaga

• - naturaalarv;
• on täisarv;

Näited:

Kraadi omadused

Et probleeme oleks lihtsam lahendada, proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

Definitsiooni järgi:

Seega saadakse selle avaldise paremal küljel järgmine toode:

Kuid definitsiooni järgi on see arvu aste koos astendajaga, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata peab olema samal alusel. Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid jääme eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel - ainult võimsuste toodete puhul!

Mitte mingil juhul ei tohiks ma seda kirjutada.

Nagu ka eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Korraldame selle ümber nii:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu -th aste:

Tegelikult võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei saa seda kunagi teha kokku:!

Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda me tahtsime kirjutada? Aga see pole tõsi, tõesti.

Võim negatiivse alusega.

Siiani oleme arutanud ainult seda, mis peaks olema indikaator kraadi. Aga mis peaks olema aluseks? Kraadides alates loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvu üksteisega, olenemata sellest, kas need on positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel (" " või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude aste?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? AGA? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me omavahel korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivsed on veidi huvitavamad. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus korda miinus annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame -.

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutamisega märk muutub. Saate sõnastada need lihtsad reeglid:

1. isegi aste, - arv positiivne.
2. Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
3. Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
4. Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Määrake ise, milline märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud siis, kui baas on null. Põhi pole ju sama? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on väiksem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteiseks, jagame paarideks ja saame:

Enne viimase reegli analüüsimist lahendame mõned näited.

Arvutage avaldiste väärtused:

Lahendused :

Kui me ei pööra tähelepanu kaheksandale astmele, mida me siin näeme? Heidame pilgu 7. klassi programmile. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamisvalem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolega nimetajat. Tundub, et see on üks lugejate tegureid, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need vahetataks, võiks rakendada reeglit 3. Aga kuidas seda teha? Selgub, et see on väga lihtne: nimetaja paarisaste aitab meid siin.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Aga nüüd näeb see välja selline:

Terminid on võluväel kohad muutnud. See "nähtus" kehtib iga väljendi kohta ühtlasel määral: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal! Seda ei saa asendada ainult ühe meie jaoks taunitava miinuse muutmisega!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame:

Noh, nüüd avame sulgud. Mitu tähte tuleb? korda kordajatega – kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: kokku osutusid kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Kraad irratsionaalse astendajaga

Lisaks keskmise taseme kraadide teabele analüüsime kraadi irratsionaalse näitajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (st. , on irratsionaalarvud kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Naturaalse, täisarvu ja ratsionaalse indikaatoriga kraadide uurimisel koostasime iga kord teatud "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamate terminitega. Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; nullkraadine arv on justkui arv, mis on korrutatud iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole veel ilmunudki - seega on tulemuseks ainult teatud "numbri ettevalmistamine", nimelt number; aste täisarvulise negatiivse indikaatoriga - justkui oleks toimunud teatud "pöördprotsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). Pigem on tegemist puhtalt matemaatilise objektiga, mille matemaatikud on loonud, et laiendada kraadi mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksi astendajaga kraadi, see tähendab, et astendaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Anname endast parima, et sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

1)

2)

3)

Vastused:

1. Pidage meeles ruutude valemi erinevust. Vastus:.
2. Toome murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks: .
3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

OSA KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Kraad nimetatakse väljendiks kujul: , kus:

Kraad täisarvu eksponendiga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Kraad ratsionaalse astendajaga

aste, mille indikaatoriks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

eksponent, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadi omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
• Mis tahes astme positiivne arv on positiivne arv.
• Null on võrdne mis tahes võimsusega.
• Mis tahes arv nullastmega on võrdne.

NÜÜD ON SUL SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Andke mulle allolevates kommentaarides teada, kas teile meeldis või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest võimsusomadustega.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Eksponenti kasutatakse arvu endaga korrutamise operatsiooni kirjutamise hõlbustamiseks. Näiteks kirjutamise asemel võite kirjutada 4 5 (\displaystyle 4^(5))(selgitus sellise ülemineku kohta on antud käesoleva artikli esimeses osas). Pädevused muudavad pikkade või keerukate avaldiste või võrrandite kirjutamise lihtsamaks; Samuti on astmeid lihtne liita ja lahutada, mille tulemuseks on avaldise või võrrandi lihtsus (näiteks 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Märge: kui teil on vaja lahendada eksponentsiaalvõrrand (sellises võrrandis on tundmatu eksponendis), lugege.

Sammud

Lihtsate ülesannete lahendamine volitustega

Korrutage astendaja alus astendajaga võrdne arv kordi. Kui teil on vaja astendajatega seotud ülesannet käsitsi lahendada, kirjutage astendaja ümber korrutustehtena, kus eksponendi alus korrutatakse iseendaga. Näiteks kraadi arvestades 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Sel juhul tuleb 3. astme alus korrutada iseendaga 4 korda: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Siin on teisi näiteid.

Esiteks korrutage kaks esimest arvu. Näiteks, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ärge muretsege - arvutusprotsess pole nii keeruline, kui esmapilgul tundub. Esmalt korrutage kaks esimest neljakordset ja seejärel asendage need tulemusega. Nagu nii:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Korrutage tulemus (meie näites 16) järgmise arvuga. Iga järgmine tulemus suureneb proportsionaalselt. Meie näites korrutage 16 4-ga. Nii:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5) = 256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Jätkake kahe esimese arvu korrutamise tulemuse korrutamist järgmise arvuga, kuni saate lõpliku vastuse. Selleks korrutage kaks esimest arvu ja seejärel korrutage tulemus jada järgmise arvuga. See meetod kehtib mis tahes kraadi jaoks. Meie näites peaksite saama: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Lahendage järgmised probleemid. Kontrolli oma vastust kalkulaatoriga.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^ (7))

3. Otsige kalkulaatorist klahvi nimetusega "exp" või " x n (\displaystyle x^(n))" või "^". Selle võtmega tõstate arvu astmeni. Suure eksponendiga (näiteks kraadiga) on kraadi käsitsi arvutamine praktiliselt võimatu 9 15 (\displaystyle 9^(15))), kuid kalkulaator saab selle ülesandega hõlpsalt hakkama. Windows 7-s saab standardse kalkulaatori lülitada insenerirežiimi; selleks klõpsake nuppu "Vaade" -\u003e "Insener". Tavarežiimile lülitumiseks klõpsake "Vaade" -\u003e "Tavaline".

   • Kontrollige saadud vastust otsingumootori (Google või Yandex) abil. Sisestage avaldis arvuti klaviatuuril klahvi "^" abil otsingumootorisse, mis kuvab koheselt õige vastuse (ja võib-olla soovitab ka sarnaseid väljendeid uurimiseks).

   Astmete liitmine, lahutamine, korrutamine

   1. Saate astmeid liita ja lahutada ainult siis, kui neil on sama alus. Kui teil on vaja lisada samade aluste ja astendajatega astmeid, saate liitmistehte asendada korrutustehtega. Näiteks väljendit arvestades 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Pea meeles, et kraad 4 5 (\displaystyle 4^(5)) saab kujutada kui 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); seega, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\kuvastiil 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kus 1 +1 =2). See tähendab, loendage sarnaste kraadide arv ja seejärel korrutage selline kraad selle arvuga. Meie näites tõstke 4 viienda astmeni ja seejärel korrutage tulemus 2-ga. Pidage meeles, et liitmistehte saab asendada näiteks korrutustehtega. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Siin on teisi näiteid.

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Sama alusega astmete korrutamisel liidetakse nende eksponendid (alus ei muutu). Näiteks väljendit arvestades x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Sel juhul peate lihtsalt lisama indikaatorid, jättes aluse muutmata. Sellel viisil, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Siin on selle reegli visuaalne selgitus:

      Kui tõsta aste astmeks, korrutatakse eksponendid. Näiteks antud kraad. Kuna eksponendid on korrutatud, siis (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Selle reegli tähendus on võimsuse korrutamine (x 2) (\displaystyle (x^(2))) enda peal viis korda. Nagu nii:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Kuna alus on sama, liidetakse eksponendid lihtsalt kokku: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Negatiivse astendajaga astendaja tuleks teisendada murdarvuks (pöördastmeks). Vahet pole, kui sa ei tea, mis on retsiprook. Kui teile antakse kraad negatiivse astendajaga, näiteks 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), kirjutage see aste murdosa nimetajasse (pange lugejasse 1) ja muutke astendaja positiivseks. Meie näites: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Siin on teisi näiteid.

      Sama alusega astmete jagamisel lahutatakse nende eksponendid (alus ei muutu). Jagamistehte on korrutustehte vastand. Näiteks väljendit arvestades 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Lahutage nimetajas olev astendaja lugejas olevast astendajast (ära muuda alust). Sellel viisil, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Nimetaja kraadi saab kirjutada järgmiselt: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Pidage meeles, et murd on negatiivse astendajaga arv (aste, avaldis).

   4. Allpool on mõned väljendid, mis aitavad teil õppida, kuidas toiteprobleeme lahendada.Ülaltoodud väljendid hõlmavad selles jaotises esitatud materjali. Vastuse nägemiseks tõstke lihtsalt esile tühi ruum pärast võrdusmärki.

   Ülesannete lahendamine murdosaastendajatega

   Murdlauselise astendajaga aste (näiteks ) teisendatakse juure eraldamise operatsiooniks. Meie näites: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Pole tähtis, milline arv on murdosa astendaja nimetajas. Näiteks, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) on "x" neljas juur x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Kui eksponendiks on vale murd, saab sellise astendaja ülesande lahendamise lihtsustamiseks jagada kaheks astmeks. Selles pole midagi keerulist – pidage meeles võimude korrutamise reeglit. Näiteks antud kraad. Muutke see astendaja juureks, mille astendaja on võrdne murdosa astendaja nimetajaga, ja seejärel tõstke see juur astendajaks, mis on võrdne murdosa astendaja lugejaga. Selleks pidage meeles seda 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1) (3)))*5). Meie näites:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1) (3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Mõnel kalkulaatoril on eksponentide arvutamise nupp (kõigepealt peate sisestama baasi, seejärel vajutama nuppu ja seejärel sisestama astendaja). Seda tähistatakse kui ^ või x^y.
   3. Pidage meeles, et mis tahes arv on võrdne iseendaga esimese astmega, näiteks 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Lisaks võrdub mis tahes arv, mis on korrutatud või jagatud ühega, võrdne iseendaga, näiteks 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Ja 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Tea, et astet 0 0 ei eksisteeri (sellisel astmel pole lahendust). Kui proovite sellist kraadi lahendada kalkulaatoris või arvutis, saate veateate. Kuid pidage meeles, et mis tahes arv nulli astmega võrdub näiteks 1-ga, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Kõrgemas matemaatikas, mis opereerib imaginaarsete arvudega: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kus i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e on konstant, mis on ligikaudu võrdne 2,7; a on suvaline konstant. Selle võrdsuse tõestuse võib leida igast kõrgema matemaatika õpikust.

   Hoiatused

   • Eksponent suurenedes suureneb selle väärtus oluliselt. Seega, kui vastus tundub teile vale, võib see tegelikult osutuda tõeks. Saate seda kontrollida, kandes graafikule mis tahes eksponentsiaalset funktsiooni, näiteks 2 x .