Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoriseerimine. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktoriseerimise näited.

Põhivalemid

Mõelge ruutvõrrandile:
(1) .
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmiste valemitega:
; .
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.

Lisaks eeldame, et need on reaalarvud.
Kaaluge ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
; .
Siis on ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on null, siis ruutvõrrandil (1) on kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoriseerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on imaginaarne ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
; .
Siis

.

Graafiline tõlgendus

Kui joonistame funktsiooni graafiku
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Kui , lõikub graafik abstsissteljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.

Allpool on selliste graafikute näited.

Kasulikud ruutvõrrandiga seotud valemid

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):




,
kus
; .

Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
Sellest on näha, et võrrand

esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.

Näited ruutvõrrandi juurte määramisest

Näide 1

(1.1) .

Lahendus

.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.

Siit saame ruudukujulise trinoomi lagunemise teguriteks:

.

Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 ristub kahes punktis x-teljega.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ristub x-teljega kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.

Vastus

;
;
.

Näide 2

Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1) .

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.

Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.

Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna see juur arvutatakse kaks korda:
,
siis nimetatakse sellist juurt mitmekordseks. See tähendab, et nad arvavad, et on kaks võrdset juurt:
.

Vastus

;
.

Näide 3

Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1) .

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1) .
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.

Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.

Siis


.

Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ületa abstsissi (telge). Seetõttu pole tõelisi juuri.

Vastus

Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.

Esimene tase

Ruutvõrrandid. Põhjalik juhend (2019)

Mõiste "ruutvõrrand" võtmesõnaks on "ruutvõrrand". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama ruudus muutujat (sama X) ja samal ajal ei tohiks olla X-e kolmandal (või suuremal) astmel.

Paljude võrrandite lahendus taandatakse ruutvõrrandite lahendiks.

Õpime kindlaks tegema, et meil on ruutvõrrand, mitte mõni muu.

Näide 1

Vabastage nimetaja ja korrutage võrrandi iga liige arvuga

Liigutame kõik vasakule poole ja järjestame terminid x astmete kahanevas järjekorras

Nüüd võime kindlalt öelda, et see võrrand on ruutkeskne!

Näide 2

Korrutage vasak ja parem külg arvuga:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruut!

Näide 3

Korrutame kõik arvuga:

Hirmutav? Neljas ja teine ​​aste ... Kui aga teeme asenduse, näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4

Tundub, et on, aga vaatame lähemalt. Liigutame kõik vasakule:

Näete, see on kahanenud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!

Nüüd proovige ise kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:

Näited:

Vastused:

1. ruut;
2. ruut;
3. mitte ruudukujuline;
4. mitte ruudukujuline;
5. mitte ruudukujuline;
6. ruut;
7. mitte ruudukujuline;
8. ruut.

Matemaatikud jagavad kõik ruutvõrrandid tinglikult järgmisteks tüüpideks:

• Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, nagu ka vaba liige c, ei ole võrdsed nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)

• Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

  Need on puudulikud, sest mõni element on neil puudu. Kuid võrrand peab alati sisaldama x ruudus !!! Vastasel juhul pole see enam ruutväärtus, vaid mingi muu võrrand.

Miks nad sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. Selline jaotus on tingitud lahendusmeetoditest. Vaatleme igaüks neist üksikasjalikumalt.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Kõigepealt keskendume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisele – need on palju lihtsamad!

Mittetäielikud ruutvõrrandid on järgmist tüüpi:

1. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.
2. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.
3. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

1. i. Kuna me teame, kuidas võtta ruutjuurt, siis väljendame seda võrrandit

Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.

Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et peaksite alati teadma ja meeles pidama, et vähem ei saa olla.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Lahenda võrrand

Nüüd jääb alles vasakust ja paremast osast juuri välja tõmmata. Lõppude lõpuks, kas mäletate, kuidas juuri välja tõmmata?

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!!!

Näide 6:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 7:

Lahenda võrrand

Oeh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri!

Selliste võrrandite jaoks, milles juured puuduvad, mõtlesid matemaatikud välja spetsiaalse ikooni - (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:

Vastus:

Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:

Lahenda võrrand

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Sellel viisil,

Sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Siin teeme ilma näideteta.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine

Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus

Täisruutvõrrandite lahendamine on natuke keerulisem (lihtsalt natuke) kui etteantud.

Pea meeles, mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Ülejäänud meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, siis kõigepealt omandage lahendus diskriminandi abil.

1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.

Kui, siis võrrandil on juur Erilist tähelepanu tuleks pöörata sammule. Diskriminant () ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil ainult juur.
• Kui, siis me ei saa selles etapis diskriminandi juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Lähme tagasi oma võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.

Näide 9:

Lahenda võrrand

Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

Seega on võrrandil kaks juurt.

3. samm

Vastus:

Näide 10:

Lahenda võrrand

Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

Seega on võrrandil üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Lahenda võrrand

Võrrand on standardkujul, seega Samm 1 vahele jätma.

2. samm

Diskriminandi leidmine:

See tähendab, et me ei saa diskriminandi juurt eraldada. Võrrandi juured puuduvad.

Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.

Vastus: pole juuri

2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, siis on olemas sellist tüüpi võrrandeid, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):

Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:

Juurte summa antud ruutvõrrand on võrdne ja juurte korrutis on võrdne.

Näide 12:

Lahenda võrrand

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna .

Võrrandi juurte summa on, s.o. saame esimese võrrandi:

Ja toode on:

Loome ja lahendame süsteemi:

• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 14:

Lahenda võrrand

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vastus:

RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruutvõrrand on vormi võrrand, kus - teadmata, - veel mõned arvud.

Numbrit nimetatakse suurimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine ​​koefitsient, aga - vaba liige.

Miks? Sest kui, võrrand muutub kohe lineaarseks, sest kaob.

Sel juhul ja võib olla võrdne nulliga. Selles väljaheite võrrandis nimetatakse mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.

Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

Alustuseks analüüsime mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid - need on lihtsamad.

Eristada saab järgmist tüüpi võrrandeid:

I. , selles võrrandis on koefitsient ja vaba liige võrdsed.

II. , selles võrrandis on koefitsient võrdne.

III. , selles võrrandis on vaba liige võrdne.

Nüüd kaaluge kõigi nende alatüüpide lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Arv ruudus ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:

kui, siis võrrandil pole lahendeid;

kui meil on kaks juurt

Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivse märgiga juuri!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri.

Lühidalt kirjutamiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.

Vastus:

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.

Näide:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Teguristame võrrandi vasaku külje ja leiame juured:

Vastus:

Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskriminant

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Kas märkasite juurvalemis diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu 2. sammule. Diskriminant ütleb meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis on võrrandil juur:
• Kui, siis on võrrandil sama juur, kuid tegelikult üks juur:

  Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.

• Kui, siis diskriminandi juurt ei eraldata. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Miks on juurte arv erinev? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsiooni graafik on parabool:

Konkreetsel juhul, mis on ruutvõrrand, . Ja see tähendab, et ruutvõrrandi juured on lõikepunktid x-teljega (teljega). Parabool ei pruugi telge üldse ületada või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole ja kui - siis alla.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus:.

Vastus:

See tähendab, et lahendusi pole.

Vastus:.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: peate lihtsalt valima arvupaari, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult sellele antud ruutvõrrandid ().

Vaatame mõnda näidet:

Näide nr 1:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna . Muud koefitsiendid: ; .

Võrrandi juurte summa on:

Ja toode on:

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega ja on meie võrrandi juured.

Vastus: ; .

Näide nr 2:

Lahendus:

Valime välja sellised arvupaarid, mis korrutises sisalduvad, ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: anna kokku.

ja: anna kokku. Selle saamiseks peate lihtsalt muutma väidetavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka tööd.

Vastus:

Näide nr 3:

Lahendus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine ​​on positiivne. Nii et juurte summa on nende moodulite erinevused.

Valime sellised arvupaarid, mis annavad tootes ja mille erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on - ei sobi;

ja: – ei sobi;

ja: – ei sobi;

ja: - sobiv. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, siis absoluutväärtuses väiksem juur peab olema negatiivne: . Kontrollime:

Vastus:

Näide nr 4:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vaba termin on negatiivne ja seega on juurte korrutis negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine ​​positiivne.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:

Ilmselgelt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:

Vastus:

Näide nr 5:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Kuid kuna nende toode on positiivne, tähendab see, et mõlemad juured on miinuses.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne:

Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.

Vastus:

Nõus, see on väga mugav - leiutada juuri suuliselt, selle asemel, et seda vastikut diskrimineerijat lugeda. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.

Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selle kasutamise kasumlikuks muutmiseks peate toimingud automatiseerima. Ja selleks lahendage veel viis näidet. Kuid ärge petke: te ei saa diskriminanti kasutada! Ainult Vieta teoreem:

Iseseisva töö ülesannete lahendused:

Ülesanne 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vastavalt Vieta teoreemile:

Tavapäraselt alustame valikut tootega:

Ei sobi, sest kogus;

: summa on see, mida vajate.

Vastus: ; .

2. ülesanne.

Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peaks välja tulema, kuid korrutis on võrdne.

Kuid kuna see peaks olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (kokku).

Vastus: ; .

3. ülesanne.

Hmm... Kus see on?

Kõik tingimused on vaja üle kanda ühte ossa:

Juurte summa võrdub korrutisega.

Jah, lõpeta! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult antud võrrandites. Nii et kõigepealt peate tooma võrrandi. Kui te ei saa seda välja tuua, loobuge sellest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi toomine tähendab juhtiva koefitsiendi muutmist võrdseks:

Hästi. Siis on juurte summa võrdne ja korrutis.

Siin on lihtsam üles võtta: lõppude lõpuks - algarv (vabandan tautoloogia pärast).

Vastus: ; .

4. ülesanne.

Vaba termin on negatiivne. Mis selles nii erilist on? Ja see, et juured on erineva märgiga. Ja nüüd, valiku ajal, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, kuid toode.

Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinusega. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.

Vastus: ; .

5. ülesanne.

Mida tuleb kõigepealt teha? See on õige, esitage võrrand:

Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinus. Milline? Nende summa peab olema võrdne, mis tähendab, et miinusega on suurem juur.

Vastus: ; .

Lubage mul teha kokkuvõte:

1. Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
2. Vieta teoreemi kasutades saate juured leida valiku teel, suuliselt.
3. Kui võrrandit ei anta või ei leitud vaba liikme sobivat tegurite paari, siis täisarvu juured puuduvad ja see tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).

3. Täisruudu valiku meetod

Kui kõik tundmatut sisaldavad liikmed on esitatud terminitena lühendatud korrutise valemitest - summa või vahe ruut -, siis pärast muutujate muutumist saab võrrandit esitada mittetäieliku tüübi ruutvõrrandina.

Näiteks:

Näide 1:

Lahenda võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Näide 2:

Lahenda võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Üldiselt näeb teisendus välja järgmine:

See tähendab:.

Kas see ei tuleta sulle midagi meelde? See on diskrimineerija! Täpselt nii saadi diskrimineeriva valem.

RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutvõrrand on võrrand kujul, kus on tundmatu, on ruutvõrrandi kordajad, on vaba liige.

Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on: .

Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

• kui koefitsient, on võrrandi kuju: ,
• kui see on vaba termin, on võrrandi vorm: ,
• kui ja, on võrrandi vorm: .

1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks

1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Väljendage tundmatut: ,

2) Kontrollige väljendi märki:

• kui, siis võrrandil pole lahendeid,
• kui, siis on võrrandil kaks juurt.

1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Võtame sulgudest välja ühisteguri: ,

2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:

1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur: .

2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus

2.1. Lahendus diskriminandi abil

1) Toome võrrandi standardkujule: ,

2) Arvutage diskriminant valemiga: , mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leidke võrrandi juured:

• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis võrrandil pole juuri.

2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil

Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand, kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , aga.

2.3. Täisruudu lahendus

Kaasaegses ühiskonnas võib ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega opereerimise võimalus olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse laialdaselt praktikas teaduse ja tehnika arengus. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil määratakse erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumise trajektoorid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevaoludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.

Jagame avaldise komponentteguriteks

Võrrandi astme määrab antud avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.

Kui rääkida valemikeeles, siis need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, saab alati viia vormi, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (see tähendab muutuja ruudus selle koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see tähendab tavaline arv). Kõik see paremal pool võrdub 0-ga. Kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, kus muutujate väärtust pole raske leida.

Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.

Näide

x = 0 või 8x - 3 = 0

Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.

Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemise hetkeni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.

Avaldise faktoriseerimine

Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme lahendada ka keerulisematel juhtudel. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.

X2 – 33x + 200 = 0

See ruudukujuline kolmik on valmis. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.

Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.

Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).

Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -üks; 3.

Ruutjuure ekstraheerimine

Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda eraldatakse ruutjuur mõlemalt võrdsuse poolelt. Tuleb märkida, et sel juhul on tavaliselt kaks võrrandi juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.

Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.

Maa pindala arvutamine

Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.

Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.

Oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.

Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.

Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasakpoolne pool sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.

Diskrimineeriv

Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, seejärel näeb selle avaldise välimus välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratud standardile vastaval kujul, kus a = 1, b = 16, c = -612.

See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi abil. Siin tehakse vajalikud arvutused vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandist soovitud väärtusi, vaid määrab võimalike valikute arvu. Juhul D>0, on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Juurtest ja nende valemist

Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.

See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).

Näited ja ülesanded

Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine ​​1.

2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.

Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.

Vieta teoreem

Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.

Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.

Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lihtsuse huvides teisendame väljendit:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.

Parabooli graafik ja võrrand

Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.

Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, lähevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algsesse võrrandisse, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.

Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega

Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui ruutfunktsiooni visuaalset esitust pole lihtne saada, saate avaldise parema poole võrdsustada 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.

Ajaloost

Ruutmuutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.

Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud aimugi negatiivsete arvude olemasolust. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.

Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.

Loodan, et pärast selle artikli uurimist saate teada, kuidas leida täieliku ruutvõrrandi juuri.

Diskriminandi abil lahendatakse ainult täielikud ruutvõrrandid, mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks kasutatakse muid meetodeid, mille leiate artiklist "Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine".

Milliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielikeks? See võrrandid kujul ax 2 + b x + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c ei ole võrdsed nulliga. Niisiis, täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks peate arvutama diskriminandi D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Olenevalt sellest, mis väärtus diskriminandil on, paneme vastuse kirja.

Kui diskriminant on negatiivne arv (D< 0),то корней нет.

Kui diskriminant on null, siis x \u003d (-b) / 2a. Kui diskriminant on positiivne arv (D > 0),

siis x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Näiteks. lahendage võrrand x 2– 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastus: 2.

Lahendage võrrand 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Vastus: pole juuri.

Lahendage võrrand 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Vastus: - 3,5; üks.

Kujutagem ette täielike ruutvõrrandite lahendust joonisel 1 oleva skeemi järgi.

Neid valemeid saab kasutada mis tahes täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks. Peate lihtsalt olema ettevaatlik võrrand kirjutati standardkujulise polünoomina

aga x 2 + bx + c, muidu võid eksida. Näiteks võrrandi x + 3 + 2x 2 = 0 kirjutamisel võite ekslikult otsustada, et

a = 1, b = 3 ja c = 2. Siis

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 ja siis on võrrandil kaks juurt. Ja see pole tõsi. (Vt ülaltoodud näite 2 lahendust).

Seega, kui võrrandit ei kirjutata tüüpkuju polünoomina, tuleb esmalt kirjutada täis ruutvõrrand standardkuju polünoomina (esimesel kohal peaks olema suurima eksponendiga monoom, st. aga x 2 , siis vähemaga – bx ja seejärel vaba tähtaeg alates.

Ülaltoodud ruutvõrrandi ja teise liikme paariskoefitsiendiga ruutvõrrandi lahendamisel võib kasutada ka muid valemeid. Tutvume nende valemitega. Kui teise liikmega täisruutvõrrandis on koefitsient paaris (b = 2k), siis saab võrrandi lahendada joonise 2 diagrammil näidatud valemite abil.

Täielikku ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks, kui koefitsient at x 2 võrdub ühtsusega ja võrrand võtab kuju x 2 + pikslit + q = 0. Sellise võrrandi saab lahendada või saadakse võrrandi kõigi koefitsientide jagamisel koefitsiendiga aga juures seistes x 2 .

Joonisel 3 on näidatud vähendatud ruudu lahenduse skeem
võrrandid. Mõelge käesolevas artiklis käsitletud valemite rakendamise näitele.

Näide. lahendage võrrand

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Lahendame selle võrrandi joonisel 1 näidatud valemite abil.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Vastus: -1 - √3; –1 + √3

Näete, et koefitsient punktis x selles võrrandis on paarisarv, st b \u003d 6 või b \u003d 2k, kust k \u003d 3. Seejärel proovime võrrandit lahendada joonisel diagrammil näidatud valemite abil D 1 \u003d 3 2-3 (- 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Vastus: -1 - √3; –1 + √3. Märgates, et selles ruutvõrrandis on kõik koefitsiendid jagatavad 3-ga ja jagades, saame taandatud ruutvõrrandi x 2 + 2x - 2 = 0 Lahendame selle võrrandi taandatud ruutvõrrandi valemite abil
võrrandid joonis 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Vastus: -1 - √3; –1 + √3.

Nagu näete, saime selle võrrandi lahendamisel erinevate valemite abil sama vastuse. Seetõttu saate joonisel 1 kujutatud skeemil näidatud valemeid hästi valdades alati lahendada mis tahes täieliku ruutvõrrandi.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

”, ehk esimese astme võrrandid. Selles õppetükis uurime mis on ruutvõrrand ja kuidas seda lahendada.

Mis on ruutvõrrand

Tähtis!

Võrrandi aste määratakse tundmatu kõrgeima astme järgi.

Kui tundmatu suurim aste on "2", on teil ruutvõrrand.

Ruutvõrrandite näited

• 5x2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Tähtis! Ruutvõrrandi üldvorm näeb välja selline:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" ja "c" - antud numbrid.

• "a" - esimene või vanem koefitsient;
• "b" - teine ​​koefitsient;
• "c" on vabaliige.

"a", "b" ja "c" leidmiseks peate oma võrrandit võrdlema ruutvõrrandi "ax 2 + bx + c \u003d 0" üldkujuga.

Harjutame ruutvõrrandites kordajate "a", "b" ja "c" määramist.

5x2 – 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Võrrand	Koefitsiendid
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kuidas lahendada ruutvõrrandid

Erinevalt lineaarvõrranditest kasutatakse ruutvõrrandi lahendamiseks spetsiaalset võrrandit. juurte leidmise valem.

Pea meeles!

Ruutvõrrandi lahendamiseks on vaja:

• viige ruutvõrrand üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0". See tähendab, et paremale küljele peaks jääma ainult "0";
• kasutage juurte jaoks valemit:

Kasutame näidet, et välja selgitada, kuidas rakendada ruutvõrrandi juurte leidmiseks valemit. Lahendame ruutvõrrandi.

X 2 - 3x - 4 = 0

Võrrand "x 2 - 3x - 4 = 0" on juba taandatud üldkujule "ax 2 + bx + c = 0" ega vaja täiendavaid lihtsustusi. Selle lahendamiseks peame ainult taotlema valem ruutvõrrandi juurte leidmiseks.

Määratleme selle võrrandi koefitsiendid "a", "b" ja "c".

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Tema abiga lahendatakse mis tahes ruutvõrrand.

Valemis "x 1; 2 \u003d" asendatakse sageli juuravaldis
"b 2 − 4ac" täheks "D" ja seda nimetatakse diskrimineerivaks. Diskriminandi mõistest on täpsemalt juttu tunnis „Mis on diskriminant“.

Vaatleme veel üht ruutvõrrandi näidet.

x 2 + 9 + x = 7x

Sellisel kujul on koefitsiente "a", "b" ja "c" üsna raske määrata. Toome kõigepealt võrrandi üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 – 6x + 9 = 0

Nüüd saate kasutada juurte valemit.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Vastus: x = 3

On aegu, mil ruutvõrranditel pole juuri. Selline olukord tekib siis, kui juure all olevas valemis on negatiivne arv.