Tetraeedri definitsioon

Tetraeeder- lihtsaim hulktahuline keha, mille tahud ja alus on kolmnurgad.

Interneti-kalkulaator

Tetraeedril on neli tahku, millest igaüks koosneb kolmest küljest. Tetraeedril on neli tippu, millest igaühel on kolm serva.

See keha on jagatud mitmeks tüübiks. Allpool on nende klassifikatsioon.

1. Isoeedriline tetraeeder- kõik selle tahud on ühesugused kolmnurgad;
2. Ortotsentriline tetraeeder- kõik kõrgused, mis on tõmmatud igast tipust vastasküljele, on sama pikkusega;
3. Ristkülikukujuline tetraeeder- ühest tipust lähtuvad servad moodustavad üksteisega 90-kraadise nurga;
4. raami;
5. Proportsionaalne;
6. intsentriline.

Tetraeedri ruumalavalemid

Antud keha mahtu saab leida mitmel viisil. Analüüsime neid üksikasjalikumalt.

Vektorite segakorrutise kaudu

Kui tetraeeder on ehitatud kolmele koordinaatidega vektorile:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

siis on selle tetraeedri ruumala nende vektorite segakorrutis, see tähendab selline determinant:

Tetraeedri ruumala läbi determinandi

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmaatriks) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z (v \\ )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Ülesanne 1

Oktaeedri nelja tipu koordinaadid on teada. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Leidke selle maht.

Lahendus

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8,7,3)B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )

Esimese sammuna tuleb määrata vektorite koordinaadid, millele antud keha on üles ehitatud.
Selleks tuleb leida vektori iga koordinaat, lahutades kahe punkti vastavad koordinaadid. Näiteks vektori koordinaadid A B → \overrightarrow(AB) A B, see tähendab punktist suunatud vektorit A A A asja juurde B B B, need on punktide vastavate koordinaatide erinevused B B B Ja A A A:

AB → = (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) = (7, 3, -6) \overright nool(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, -2, -6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, -8) \overright nool(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Nüüd leiame nende vektorite segakorrutise, selleks koostame kolmandat järku determinandi, eeldades, et A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6 − 8) (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmaatriks) a_x a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

See tähendab, et tetraeedri ruumala on:

$V=61\cdot |$

Vastus

$44.8\text{cm3 .}$

Isoeedrilise tetraeedri ruumala valem piki selle külge

See valem kehtib ainult isoeedrilise tetraeedri ruumala arvutamiseks, see tähendab tetraeedri, mille kõik tahud on identsed korrapärased kolmnurgad.

Isoeedrilise tetraeedri ruumala

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa on tetraeedri serva pikkus.

2. ülesanne

Leidke tetraeedri ruumala, kui selle külg on võrdne $11\text{cm.}$

Lahendus

$a=11$

Asendaja a aa tetraeedri ruumala valemisse:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Vastus

$156.8\text{cm3 .}$

Märge. See on osa õppetunnist, milles käsitletakse geomeetria probleeme (lõike tahke geomeetria, ülesanded püramiidi kohta). Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mida siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Ülesannetes kasutatakse "ruutjuure" sümboli asemel funktsiooni sqrt (), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Lihtsate radikaalsete väljendite puhul võib kasutada märki "√".. korrapärane tetraeeder on korrapärane kolmnurkne püramiid, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad.

Tavalise tetraeedri puhul on kõik servade kahetahulised nurgad ja tippude kolmnurksed nurgad võrdsed

Tetraeedril on 4 tahku, 4 tippu ja 6 serva.

Tavalise tetraeedri põhivalemid on toodud tabelis.

Kus:
S - tavalise tetraeedri pindala
V - maht
h - alusele langetatud kõrgus
r - tetraeedrisse kantud ringi raadius
R - piiritletud ringi raadius
a - ribi pikkus

Praktilised näited

Ülesanne.
Leidke kolmnurkse püramiidi pindala, mille iga serv on võrdne √3

Lahendus.
Kuna kolmnurkse püramiidi kõik servad on võrdsed, on see õige. Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala on S = a 2 √3.
Siis
S = 3√3

Vastus: 3√3

Ülesanne.
Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõik servad on 4 cm Leia püramiidi ruumala

Lahendus.
Kuna korrapärases kolmnurkpüramiidis projitseeritakse püramiidi kõrgus aluse keskpunkti, mis on ühtlasi ka piiritletud ringi keskpunkt, siis

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3/3

Seega saab püramiidi OM kõrguse leida täisnurksest kolmnurgast AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 – AO 2
OM 2 = 4 2 – (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √ (32/3)
OM = 4√2 / √3

Püramiidi ruumala leitakse valemiga V = 1/3 Sh
Sel juhul leiame aluse pindala valemiga S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Vastus: 16√2/3cm

Tetraeedri ruumala põhivalemist

kus S on mis tahes näo pindala ja H- sellele langetatud kõrgus, saate tuletada terve rea valemeid, mis väljendavad mahtu tetraeedri erinevate elementide järgi. Anname need valemid tetraeedri jaoks ABCD.

(2) ,

kus ∠ ( AD,ABC) on servadevaheline nurk AD ja näo tasapind ABC;

(3) ,

kus ∠ ( ABC,ABD) on tahkude vaheline nurk ABC Ja ABD;

kus | AB,CD| - vastassuunaliste ribide vaheline kaugus AB Ja CD, ∠ (AB,CD) on nende servade vaheline nurk.

Sirgete ja tasandite vaheliste nurkade leidmiseks saab kasutada valemeid (2)–(4); Eriti kasulik on valem (4), mille abil saate leida kaldjoonte vahelise kauguse AB Ja CD.

Valemid (2) ja (3) on sarnased valemiga S = (1/2)ab patt C kolmnurga pindala jaoks. Valem S = rp sarnane valem

kus r on tetraeedri sissekirjutatud sfääri raadius, Σ on selle kogupind (kõigi tahkude pindalade summa). Samuti on ilus valem, mis ühendab tetraeedri ruumala raadiusega R selle kirjeldatud ulatus ( Crelle valem):

kus Δ on kolmnurga pindala, mille küljed on arvuliselt võrdsed vastasservade korrutistega ( AB× CD, AC× BD,AD× eKr). Valemist (2) ja kolmnurksete nurkade koosinusteoreemist (vt Sfääriline trigonomeetria) saab tuletada Heroni kolmnurkade valemiga sarnase valemi.

Vaatleme suvalist kolmnurka ABC ja punkti D, mis ei asu selle kolmnurga tasapinnal. Ühendage see punkt segmentidega kolmnurga ABC tippudega. Selle tulemusena saame kolmnurgad ADC , CDB , ABD . Nelja kolmnurgaga ABC , ADC , CDB ja ABD piiratud pinda nimetatakse tetraeedriks ja seda tähistatakse DABC .
Kolmnurki, mis moodustavad tetraeedri, nimetatakse selle tahkudeks.
Nende kolmnurkade külgi nimetatakse tetraeedri servadeks. Ja nende tipud on tetraeedri tipud

Tetraeedris on 4 nägu, 6 ribi Ja 4 tippu.
Kahte serva, millel pole ühist tippu, nimetatakse vastandiks.
Sageli nimetatakse mugavuse huvides ühte tetraeedri tahkudest alus, ja ülejäänud kolm külge on külgmised.

Seega on tetraeeder kõige lihtsam hulktahukas, mille tahud on neli kolmnurka.

Kuid tõsi on ka see, et iga suvaline kolmnurkne püramiid on tetraeedr. Siis on ka tõsi, et tetraeedrit nimetatakse püramiid, mille põhjas on kolmnurk.

Tetraeedri kõrgus nimetatakse lõiguks, mis ühendab tippu punktiga, mis asub vastasküljel ja on sellega risti.
Tetraeedri mediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab tipu vastaskülje mediaanide lõikepunktiga.
Bimediaan tetraeeder nimetatakse lõiguks, mis ühendab tetraeedri ristumisservade keskpunkte.

Kuna tetraeeder on kolmnurkse alusega püramiid, saab iga tetraeedri ruumala arvutada valemiga

• S on mis tahes näo piirkond,
• H- selle näo kõrgus langetatud

Regulaarne tetraeeder – tetraeedri eritüüp

Nimetatakse tetraeedrit, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad õige.
Tavalise tetraeedri omadused:

• Kõik servad on võrdsed.
• Korrapärase tetraeedri kõik tasapinnalised nurgad on 60°
• Kuna iga selle tipp on kolme korrapärase kolmnurga tipp, on iga tipu tasapinna nurkade summa 180°
• Korrapärase tetraeedri mis tahes tipp projitseeritakse vastaskülje ortotsentrisse (kolmnurga kõrguste lõikepunkti).

Olgu meile antud korrapärane tetraeeder ABCD, mille servad on võrdsed a . DH on selle kõrgus.
Teeme lisakonstruktsioonid BM - kolmnurga ABC kõrgus ja DM - kolmnurga ACD kõrgus .
Kõrgus BM võrdub BM ja võrdub
Vaatleme kolmnurka BDM , kus DH , mis on tetraeedri kõrgus, on ka selle kolmnurga kõrgus.
Küljele MB langenud kolmnurga kõrguse saab leida valemi abil

, kus
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Asendage need väärtused kõrguse valemis. Hangi


Võtame välja 1/2a. Hangi

Rakenda ruutude valemi erinevus

Pärast mõningaid väiksemaid muudatusi saame


Iga tetraeedri ruumala saab arvutada valemi abil
,
kus ,

Asendades need väärtused, saame

Seega on tavalise tetraeedri mahuvalem

kus a-tetraeedri serv

Tetraeedri ruumala arvutamine, kui on teada selle tippude koordinaadid

Olgu meile antud tetraeedri tippude koordinaadid

Joonistage vektorid tipust , , .
Kõigi nende vektorite koordinaatide leidmiseks lahutage lõppkoordinaadist vastav alguskoordinaat. Hangi